1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Співставимо поверхню з прямокутною системою координат. Щоб уявити собі геометричний зміст інтерполювання, достатньо побудувати поверхню , яка проходить через точки . Оскільки значення апроксимуючої функції в точках співпадають із значеннями , а в інших, взагалі кажучи, відмінні, точки ми і назвали вузловими точками. Геометричний зміст інтерполювання виражається в тому очевидному факті, що поверхня замінюється апроксимуючою поверхнею . Щоб оцінити точність інтерполяції, необхідно оцінити різницю аплікат цих поверхонь в точках , не співпадаючих з вузловими.

Далі розглянемо інтерполяційні агрегати у вигляді многочленів (які будемо називати інтерполяційними многочленами для функції двох змінних) і двовимірних інтерполяційних ланцюгових дробів, оскільки такі представлення є найчастіше вживаними і краще вивченими. Але перед тим як приступити до побудови двовимірної інтерполяційної формули Ньютона, розглянемо спочатку подвійні різниці для функції двох змінних, які нам для цього знадобляться.

§2. Подвійні різниці для функції двох змінних.

Нехай задана функція і, крім того, задані такі значення аргументів і :

і .

Введемо поняття подвійних поділених різниць цієї функції. Поділені різниці функції ми можемо обчислити або по якій-небудь одній змінній, наприклад , або по обох змінних і .

Якщо послідовні поділені різниці функції утворюються по , то символом будемо позначати n-ту частинну різницю функції по змінній ; якщо ж різниці утворюються по y, то через будемо позначати m-ту частинну різницю функції по змінній . Так, наприклад, перша поділена різниця функції по змінній х має вигляд (у вважається сталою):

а різниця (х вважається сталою)

являє собою першу поділену різницю функції по у. Зробимо важливе зауваження щодо символів , , і . Якщо розглянути, наприклад, символ , то можемо відмітити, що цим символом позначається значення функції в точці площини Х0У, а не перша поділена різниця функції , як це прийнято позначати у випадку одновимірної інтерполяції. Такий же зміст мають і інші символи. Для поділеної різниці (n+m)-го порядку відносно обох змінних х (для значень х, рівних ) та у (для значень у, рівних ) ми будемо використовувати позначення:

Поділені різниці функції від двох змінних можуть бути отримані за допомогою формули для різниць функції від одної змінної. Власне ми можемо утворити певну суперпозицію двох таких формул:

тоді

Тут - значення в точці .

Із цих формул видно, що поділені різниці функції по змінних х та у є симетричними функціями параметрів таким чином, що вони не змінюються при яких завгодно їх перестановках. Наприклад:

.

§3. Інтерполяційний многочлен у формі Ньютона для функції двох змінних.

Згідно загальної інтерполяційної формули Ньютона для функції однієї змінної маємо:

Але по тій самій формулі Ньютона ми можемо записати:

Таким чином отримуємо інтерполяційну формулу для , яка залежить від поділених різниць:

(1)

де

Але так як

,

то залишковий член може бути переписаний у вигляді

(2)

Таким чином для функції, яка залежить від двох змінних, формула Ньютона приймає вигляд (1), причому залишковий член може бути представлений у вигляді (2).

За аналогією з одновимірним випадком, можна спростити залишковий член за допомогою значень похідних в деякій середній точці. Тоді можемо записати:

,

де знаходиться між найбільшим та найменшим з чисел і

де знаходиться між найбільшим та найменшим з чисел . Символами та позначені частинні похідні.

Тепер звернемо увагу ще на таке співвідношення:

,

де і знаходяться відповідно в тих самих межах, що згадані вище. Відмітимо, що невідомі числові значення і , які входять в дві перші формули, не рівні значенням і останньої формули. З цих формул отримуємо наступну формулу для оцінки похибки інтерполяції:

§4. Інтерполяційний многочлен

Лагранжа у випадку функції двох змінних.

Розглянемо ще одну формулу інтерполювання без різниць – формулу Лагранжа. Вона пов’язана із значеннями функції в дискретних точках області D і часто є більш вигідною ніж попередньо розглянуті формули.

Для отримання потрібної нам формули досить побудувати многочлен степеня (степеня відносно x та степеня відносно y), що приймає в точках ті самі значення що і задана функція . Якщо цей многочлен ми приймемо в якості інтерполяційного, то залишковий член відповідної інтерполяційної формули не буде нічим відрізнятися від залишкового члена попередньо виведеної формули Ньютона.

Розглянемо многочлен степеня :

де

, .

Так як

то многочлен приймає значення у вузлах інтерполяції.

Тому має місце формула

Це і є інтерполяційна формула Лагранжа для функцій двох змінних. Вона є точною для многочленів, степінь яких по не перевищує , а по y - не перевищує .

§5. Двовимірні інтерполяційні

ланцюгові дроби.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13