| Назва: | Суть аксіоматичного методу |
| Тип: | Реферати |
| Мова: | Українська |
| Розмiр: | 9,78 KB |
| Скачувань: | 11 |
Такий спосіб побудови математичних понять використовував ще Аристотель. Великий древньогрецький філософ назвав його так: означення через рід і видову відмінність.
Наприклад, прямокутник відноситься до роду паралелограмів, а його видова відмінність полягає в тому, що усі його кути прямі. Паралелограм відноситься до роду чотирикутників, а видова відмінність - паралельність протилежних сторін. Поняття чотирикутника, у свою чергу, визначається через поняття відрізка, а той визначається як частина прямої, що міститься між двома точками цієї прямої, включаючи і ці точки.
Так у ході свого аналізу ми добралися до основних геометричних понять, про які мова йде в аксіомах геометрії “точка” і “пряма”, “лежати” і “між”.
А як визначаються основні поняття? Подивимось як це робив батько геометрії Евклід.
Відкриємо знову його «Начала»: “Точка є те, що не має частин. Лінія - це довжина без ширини. Кінці ж лінії-точка. Пряма лінія є та, що однаково розташована стосовно точок на ній...”
Чи задоволені Ви таким означенням? Мабуть, ні! Напевно, виникають питання: Хіба тільки про пряму лінію можна сказати, що вона однаково розташована відносно своїх точок? Адже такою ж властивістю володіє й коло. А що таке довжина? ширина? Хіба ці поняття теж не вимагають означень?
Особливо над цими питаннями математики стали замислюватися на межі XIX і XX століть. Глибокий аналіз Евклідової геометрії показав, що не такою вже і стрункою є ця древня споруда. Недоліки в її конструкції містяться у фундаменті. Почалася кропітка робота, спрямована на усунення цих недоліків.
То як же виглядають початки геометрії у сучасному викладі? Візьмемо книгу німецького математика Давида Гильберта ”Основи геометрії”:
“Ми мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками, речі другої системи ми називаємо прямими, речі третьої системи ми називаємо площинами. Ми мислимо точки, прямі й площини у визначених співвідношеннях і позначаємо ці співвідношення різними словами, а саме: належати, між, конгруентний (тобто такі, що суміщаються при накладанні), паралельний, неперервний”.
Як бачимо, Гильберт і не збирається означувати основні об'єкти геометрії - точку, пряму, площину. Ці поняття вважаються основними, неозначуваними.
1.4 Як виникають математичні поняття?
“Не можна бути математиком, не будучи в той же час і поетом у душі”,-говорив німецький математик Карл Вейерштрас.
Якщо сучасна геометрія відмовляється розкривати джерела своїх понять, якщо нам ніяк не вдається виявити їх у строгих математичних термінах, то, можливо, нам допоможуть у цьому поетичні образи?
“Зірки мов іскорки горять”. “Струнка смерічка наче свічка”. “Мов струни стовбури високих сосен”. “Рівнина - як озера гладь ”. “Місяця розірваний обруч”.
Поетичний дар, яким наділена людина від природи, спонукає її помічати подібність у різному. Підмічаючи часто одну і ту ж властивість у різних об'єктах, людина усвідомлює цю властивість і дає їй ім'я.
Стовбур смереки чи сосни, натягнута струна або свічка прямі. У цьому твердженні уже явно виражене поняття прямої. Нагадуючи про стовбур дерева, натягнуту струну чи свічку, це поняття в той же час уже відділене від них, існує саме по собі в нашій свідомості.
Так з'являлися абстрактні геометричні поняття.
І чим наполегливіше шукала людина прості, але характерні, деякі, але істотні властивості предметів, чим сміливіше відкидала вона при узагальненні риси неістотні, другорядні і випадкові, тим змістовнішим і водночас більш виразним ставало відповідне абстрактне поняття, чи то площина чи пряма, точка чи коло.
1.5 Звідки беруться аксіоми?
Людина - не тільки споглядач і поет. Людина - насамперед трудівник.
У своїй практичній діяльності, усвідомлюючи властивості реальних предметів і їхні взаємозв'язки, людина установлювала властивості створених нею геометричних понять і відношення між ними.
Стародавня легенда розповідає, як зародилася наука геометрія. Було це в Древньому Єгипті. Величезна ріка тече через усю цю місцевість - Ніл. Розливаючись із кожною весною, Ніл затопляв поля і знищував межі, що розділяли земельні ділянки. Межі щоразу доводилося відновлювати заново. З року в рік, із століття в століття удосконалювалися прийоми землемірства. Якщо вимовити це слово на древньогрецькій мові, ми впізнаємо в ньому назву науки, про яку йде мова: геометрія.
Натягуючи шнурок між двома кілками, древні землеміри не раз мали можливість переконатися, що ця нескладна операція завжди призводить до того самого результату. Багаторазово повторений досвід дозволив зробити висновок: через дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.
Так народжувалися аксіоми.
Наприклад, прямокутник відноситься до роду паралелограмів, а його видова відмінність полягає в тому, що усі його кути прямі. Паралелограм відноситься до роду чотирикутників, а видова відмінність - паралельність протилежних сторін. Поняття чотирикутника, у свою чергу, визначається через поняття відрізка, а той визначається як частина прямої, що міститься між двома точками цієї прямої, включаючи і ці точки.
Так у ході свого аналізу ми добралися до основних геометричних понять, про які мова йде в аксіомах геометрії “точка” і “пряма”, “лежати” і “між”.
А як визначаються основні поняття? Подивимось як це робив батько геометрії Евклід.
Відкриємо знову його «Начала»: “Точка є те, що не має частин. Лінія - це довжина без ширини. Кінці ж лінії-точка. Пряма лінія є та, що однаково розташована стосовно точок на ній...”
Чи задоволені Ви таким означенням? Мабуть, ні! Напевно, виникають питання: Хіба тільки про пряму лінію можна сказати, що вона однаково розташована відносно своїх точок? Адже такою ж властивістю володіє й коло. А що таке довжина? ширина? Хіба ці поняття теж не вимагають означень?
Особливо над цими питаннями математики стали замислюватися на межі XIX і XX століть. Глибокий аналіз Евклідової геометрії показав, що не такою вже і стрункою є ця древня споруда. Недоліки в її конструкції містяться у фундаменті. Почалася кропітка робота, спрямована на усунення цих недоліків.
То як же виглядають початки геометрії у сучасному викладі? Візьмемо книгу німецького математика Давида Гильберта ”Основи геометрії”:
“Ми мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками, речі другої системи ми називаємо прямими, речі третьої системи ми називаємо площинами. Ми мислимо точки, прямі й площини у визначених співвідношеннях і позначаємо ці співвідношення різними словами, а саме: належати, між, конгруентний (тобто такі, що суміщаються при накладанні), паралельний, неперервний”.
Як бачимо, Гильберт і не збирається означувати основні об'єкти геометрії - точку, пряму, площину. Ці поняття вважаються основними, неозначуваними.
1.4 Як виникають математичні поняття?
“Не можна бути математиком, не будучи в той же час і поетом у душі”,-говорив німецький математик Карл Вейерштрас.
Якщо сучасна геометрія відмовляється розкривати джерела своїх понять, якщо нам ніяк не вдається виявити їх у строгих математичних термінах, то, можливо, нам допоможуть у цьому поетичні образи?
“Зірки мов іскорки горять”. “Струнка смерічка наче свічка”. “Мов струни стовбури високих сосен”. “Рівнина - як озера гладь ”. “Місяця розірваний обруч”.
Поетичний дар, яким наділена людина від природи, спонукає її помічати подібність у різному. Підмічаючи часто одну і ту ж властивість у різних об'єктах, людина усвідомлює цю властивість і дає їй ім'я.
Стовбур смереки чи сосни, натягнута струна або свічка прямі. У цьому твердженні уже явно виражене поняття прямої. Нагадуючи про стовбур дерева, натягнуту струну чи свічку, це поняття в той же час уже відділене від них, існує саме по собі в нашій свідомості.
Так з'являлися абстрактні геометричні поняття.
І чим наполегливіше шукала людина прості, але характерні, деякі, але істотні властивості предметів, чим сміливіше відкидала вона при узагальненні риси неістотні, другорядні і випадкові, тим змістовнішим і водночас більш виразним ставало відповідне абстрактне поняття, чи то площина чи пряма, точка чи коло.
1.5 Звідки беруться аксіоми?
Людина - не тільки споглядач і поет. Людина - насамперед трудівник.
У своїй практичній діяльності, усвідомлюючи властивості реальних предметів і їхні взаємозв'язки, людина установлювала властивості створених нею геометричних понять і відношення між ними.
Стародавня легенда розповідає, як зародилася наука геометрія. Було це в Древньому Єгипті. Величезна ріка тече через усю цю місцевість - Ніл. Розливаючись із кожною весною, Ніл затопляв поля і знищував межі, що розділяли земельні ділянки. Межі щоразу доводилося відновлювати заново. З року в рік, із століття в століття удосконалювалися прийоми землемірства. Якщо вимовити це слово на древньогрецькій мові, ми впізнаємо в ньому назву науки, про яку йде мова: геометрія.
Натягуючи шнурок між двома кілками, древні землеміри не раз мали можливість переконатися, що ця нескладна операція завжди призводить до того самого результату. Багаторазово повторений досвід дозволив зробити висновок: через дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.
Так народжувалися аксіоми.
Новости загрузка новостей...