1 2 3 4

Річ у тому, що один і той же символ або може позначати різні конкретні функції. Ця обставина зв'язана з тим, що при визначенні символів і ми по суті ввели цілі класи функцій, що володіють певними властивостями (клас функцій, обмежених в деякому околі точки в порівнянні з функцією і клас функцій, нескінченно малих в порівнянні з f(x) при ) і було б правильнішим писати не і , а відповідно і о . Проте це призвело б до істотного ускладнення обчислень з формулами, в яких зустрічаються символи О і о. Тому ми збережемо колишній запис і , але завжди читатимемо цю рівність, відповідно до приведених вище визначень, тільки в одну сторону: зліва направо (якщо, звичайно, не обумовлено що-небудь інше). Наприклад, запис означає, що функція є нескінченно малою в порівнянні з функцією f при але зовсім не те, що всяка нескінченно мала по порівнянню з f функція рівна .

Як приклад на поводження з цими символами доведемо рівність

(1.31)

де с - стала.

Згідно сказаному, треба показати, що якщо , то . Дійсно, якщо , то , де0. Покладемо тоді де, очевидно і, значить, .

На закінчення відзначимо, що сказане про використовування символів О і о не виключає, звичайно, того, що окремі формули з цими символами можуть виявитися справедливими не тільки при читанні зліва направо, але і справа наліво; так, формула (1.31) при вірна і при читанні справа наліво.

Приклади.

1.;

тому

2.

3., бо

4.Так як |1/x2| £ |1/x| при |x| ³ 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ® ¥;

5.1/x = O(1/x2) при x® 0 так как |1/x|£ 1/x2 при |x|£ 1.

6.Функції f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x ® 0 являються нескінчено малими одного порядку при x® a , так як

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| £ 3 Þ f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x| £ 1 Þ g=O(f).

7. x2 = o(x) при x ® 0, так як limx ® 0x2/x = limx ® 0x = 0;

8.1/x2 = o(1/x) при x ® + ¥ так як limx ® ¥x/x2 = limx ® ¥1/x = 0

9.Знайти границю

Розв'язування. Використовуючи асимптотическое равенство (3) и асимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o(x) при x® 0 (см. пример 15) и f=o(x2) является функцией o(x) при x® 0, найдем

ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ

Якщо функція замінюється на де якому кроці через , то різницяь називається абсолютною похибкою, а відношення - відносною похибкою зробленої заміни. Якщо вивчається поведінка функції при то часто доцільно замінити її функцією такої, що 1) функція в певному значенні більш проста, ніж функція ; 2) абсолютна похибка прямує до нуля при

В цьому випадку говорять, що наближає функцію поблизу точки . Такою властивістю володіють наприклад, всі нескінченно малі при функції f і g. Нижче показано, що серед них лише ті, які еквівалентні між собою:

володіють тією властивістю, що не тільки абсолютна похибка , але і відносна прямує до нуля при

В цьому значенні функції, еквівалентні заданій, наближають її краще, ніж інші функції навіть того ж порядку, що і дана при

Наприклад, функції є нескінченно малими при так само як і а тому абсолютні похибки при заміні sin кожна з них прямує до нуля при

Але лише одна зі всіх перерахованих функцій, а саме: має ту властивість, що відносна похибка при заміні цією функцією прямуватиме до нуля при

Прямування відносної похибки до нуля при можна записати, використовуючи символ “o мале»:

Сформулюємо сказану характеристичну властивість еквівалентних функцій у вигляді теореми.

Теорема 1. Для того, щоб функції і були еквівалентними при необхідно і достатньо, щоб при виконувалася умова

(1.32)

Доведення необхідності. Нехай при тобто

де . Тоді

де при , тобто маємо (1.32).

Доведення достатності. Нехай виконується умова (1.32), тобто

де . Тоді

де при тобто при

Отже, ми показали, що функції і еквівалентні при тоді і тільки тоді, коли відносна похідна (або прямує до нуля при )

Наслідок. Нехай де с - стала. Тоді f~cg і g=cf+o(f) при

Доведення. Якщо , то , і значить при . Звідси, з теореми 1 маємо а значить (див. кінець п. 1.2) .

Теорема 2. Нехай ~ і ~ при Тоді якщо існує

(1.33)

то існує і , причому

(1.34)

Доведення. Умова при означає, що

де , а умова при -що , де . Крім того, оскільки існує границя (1.33), функція визначена в деякому проколеному околі точки і, отже, всюди в цьому околі виконується нерівність . Оскільки і, очевидно, в деякому проколеному околі точки , то і функція володіє тією ж властивістю. Тому функція визначена в деякому проколеному околі точки .

Тепер маємо:

Оскільки обидві частини рівності (1.34) рівноправні, то з доведеної теореми виходить, що границя, що стоїть в лівій частині, існує тоді і тільки тоді, коли існує границя в правій частині, причому у разі їх існування вони співпадають. Це робить дуже зручним застосування теореми 2 на практиці: її можна використовувати для обчислення меж, не знаючи наперед, існує чи ні дана межа.

МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ.

1 2 3 4