| Назва: | Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями |
| Тип: | Реферати |
| Мова: | Українська |
| Розмiр: | 7,45 KB |
| Скачувань: | 66 |
Означення. Точка називається точкою згущення множини , якщо в кожному її колі знаходиться хоча б одна точка, відмінна від .
Точка згущення може і належати області , але може і не належати їй. Очевидно, що всі внутрішні точки множини є точками згущення і при цьому належать . Граничні точки можуть бути точками згущення , а можуть і не бути (їх тоді називають ізольованими).
Означення. Кожна точка згущення області означення функції , що не є точкою неперервності, називається точкою розриву цієї функції.
Означення. Лінія площини аргументів , всі точки якої є точками розриву функції , називається лінією розриву цієї функції.
Приклади.
1. Початок координат є точкою розриву функції
.
Справді, областю існування є вся площина , крім точки . Точка є точкою згущення цієї області, але не є точкою неперервності , оскільки не має числового значення в точці ; крім того, функція не має границі при (довести).
2. Функція задана формулою
.
Областю існування є вся площина , крім параболи . Всі точки цієї параболи є точками розриву , оскільки кожна з них є точкою згущення , але не належить , тому не має числового значення в кожній такій точці; крім того, має нескінченну границю при прямуванні точки до будь-якої точки цієї параболи. Тому парабола є лінія розриву функції .
Зупинимось на функції , яка визначена на відрізку . В точках і можна ставити питання про односторонню неперервність, а саме, в точці можна ставити питання про неперервність справа, а в точці - зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції зліва і справа.
Означення. Функція називається неперервною в точці зліва (справа), якщо виконуються умови:
1) визначена в точці (існує число );
2) в точці існує лівостороння (правостороння) границя функції;
3) лівостороння (правостороння) границя функції дорівнює значенню функції в точці , або
,
.
Очевидно, коли функція неперервна в точці, то вона в цій точці є неперервна і зліва, і справа. Має місце така теорема.
Теорема. Для того, щоб функція була неперервна в даній точці, необхідно і достатньо, щоб вона була в цій точці неперервна справа і зліва.
Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку , крім, можливо, внутрішньої точки .
Означення. Якщо функція в точці не є неперервною, то точка називається точкою розриву функції , а саме функція при цьому називається розривною в точці .
Отже, за означенням, будь-яка внутрішня точка проміжку , де визначена функція , є точкою розриву функції, якщо в цій точці порушується хоча б одна з трьох умов неперервності. Тому залежно від того, яка з цих умов не виконується, точки розриву поділяють на два роди.
Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують скінченні лівостороння і правостороння границі.
Якщо границі рівні між собою, то точка називається точкою усувного розриву.
Якщо границі скінченні, але не рівні, то точка називається точкою розриву типу “ стрибка “.
Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь або дорівнює безмежності.
Приклади.
1. .
Функція визначена на всій числовій осі, за винятком точки . Знайдемо лівосторонню і правосторонню границі в цій точці:
Отже, одна функція в точці має розрив першого роду.
2.
Функція означена при всіх значеннях , крім . Односторонні границі:
Отже, точка є точкою розриву другого роду.
3.
В точці функція не визначена, але вона має
скінчену границю в цій точці: . Це є усувний розрив, тому що функція
неперервна в точці .
2. Властивості функцій,
неперервних у замкнених областях
Ці властивості сформулюємо як теореми і дамо деякі пояснення, ілюструючи їх для функції , неперервної на відрізку .
Теорема. Якщо функція означена і неперервна в обмеженій замкнутій області , то функція обмежена, тобто існує число таке, що для всіх точок області .
Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , приймає в цій області своє найбільше і найменше значення, тобто
.
Смисл цієї теореми для функції , неперервної на відрізку , наочно ілюструється на рис. 5.2.
Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , між будь-якими двома своїми значеннями приймає всі проміжні значення, тобто, якщо , де і - якість значення функції в області , то в цій області є точка , в якій .
Смисл цієї теореми для функції чітко ілюструється на рис. 5.3.
Наслідок. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області і в точках цієї області , то в існує точка така, що .Смисл цього твердження для функції (рис.5.4).
Доведення перелічених теорем в нашому курсі ми не розглядаємо. Лише зауважимо, що для функцій, неперервних в незамкнутих або необмежених областях, наведені в цих теоремах властивості можуть не мати місця.
Точка згущення може і належати області , але може і не належати їй. Очевидно, що всі внутрішні точки множини є точками згущення і при цьому належать . Граничні точки можуть бути точками згущення , а можуть і не бути (їх тоді називають ізольованими).
Означення. Кожна точка згущення області означення функції , що не є точкою неперервності, називається точкою розриву цієї функції.
Означення. Лінія площини аргументів , всі точки якої є точками розриву функції , називається лінією розриву цієї функції.
Приклади.
1. Початок координат є точкою розриву функції
.
Справді, областю існування є вся площина , крім точки . Точка є точкою згущення цієї області, але не є точкою неперервності , оскільки не має числового значення в точці ; крім того, функція не має границі при (довести).
2. Функція задана формулою
.
Областю існування є вся площина , крім параболи . Всі точки цієї параболи є точками розриву , оскільки кожна з них є точкою згущення , але не належить , тому не має числового значення в кожній такій точці; крім того, має нескінченну границю при прямуванні точки до будь-якої точки цієї параболи. Тому парабола є лінія розриву функції .
Зупинимось на функції , яка визначена на відрізку . В точках і можна ставити питання про односторонню неперервність, а саме, в точці можна ставити питання про неперервність справа, а в точці - зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції зліва і справа.
Означення. Функція називається неперервною в точці зліва (справа), якщо виконуються умови:
1) визначена в точці (існує число );
2) в точці існує лівостороння (правостороння) границя функції;
3) лівостороння (правостороння) границя функції дорівнює значенню функції в точці , або
,
.
Очевидно, коли функція неперервна в точці, то вона в цій точці є неперервна і зліва, і справа. Має місце така теорема.
Теорема. Для того, щоб функція була неперервна в даній точці, необхідно і достатньо, щоб вона була в цій точці неперервна справа і зліва.
Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку , крім, можливо, внутрішньої точки .
Означення. Якщо функція в точці не є неперервною, то точка називається точкою розриву функції , а саме функція при цьому називається розривною в точці .
Отже, за означенням, будь-яка внутрішня точка проміжку , де визначена функція , є точкою розриву функції, якщо в цій точці порушується хоча б одна з трьох умов неперервності. Тому залежно від того, яка з цих умов не виконується, точки розриву поділяють на два роди.
Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують скінченні лівостороння і правостороння границі.
Якщо границі рівні між собою, то точка називається точкою усувного розриву.
Якщо границі скінченні, але не рівні, то точка називається точкою розриву типу “ стрибка “.
Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь або дорівнює безмежності.
Приклади.
1. .
Функція визначена на всій числовій осі, за винятком точки . Знайдемо лівосторонню і правосторонню границі в цій точці:
Отже, одна функція в точці має розрив першого роду.
2.
Функція означена при всіх значеннях , крім . Односторонні границі:
Отже, точка є точкою розриву другого роду.
3.
В точці функція не визначена, але вона має
скінчену границю в цій точці: . Це є усувний розрив, тому що функція
неперервна в точці .
2. Властивості функцій,
неперервних у замкнених областях
Ці властивості сформулюємо як теореми і дамо деякі пояснення, ілюструючи їх для функції , неперервної на відрізку .
Теорема. Якщо функція означена і неперервна в обмеженій замкнутій області , то функція обмежена, тобто існує число таке, що для всіх точок області .
Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , приймає в цій області своє найбільше і найменше значення, тобто
.
Смисл цієї теореми для функції , неперервної на відрізку , наочно ілюструється на рис. 5.2.
Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , між будь-якими двома своїми значеннями приймає всі проміжні значення, тобто, якщо , де і - якість значення функції в області , то в цій області є точка , в якій .
Смисл цієї теореми для функції чітко ілюструється на рис. 5.3.
Наслідок. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області і в точках цієї області , то в існує точка така, що .Смисл цього твердження для функції (рис.5.4).
Доведення перелічених теорем в нашому курсі ми не розглядаємо. Лише зауважимо, що для функцій, неперервних в незамкнутих або необмежених областях, наведені в цих теоремах властивості можуть не мати місця.
Новости загрузка новостей...